「モーメント母関数」とその使い方とは。実際の計算をしながら確認しよう

はじめに
モーメント母関数とは
なぜモーメント母関数が便利なのか
実際の計算例
1. 例1: ベルヌーイ分布
  1. 期待値
  2. 分散
2. 例2: 正規分布
  1. 期待値
  2. 分散
まとめ
モーメント母関数を学ぶのにオススメの方法
1. 書籍：現代数理統計学の基礎
2. スクール：現役データサイエンティストに教えてもらう

はじめに

統計学では分布の性質を示す関数として「モーメント母関数」というものが存在します。この関数は確率分布の性質を調べる上で非常に便利なツールです。

本記事では、モーメント母関数の定義を理解し、実際にいくつかの分布で計算を行いながら、その使い方を学んでいきましょう。

データ分析の際にはしっかりと分布を確認しながら適切な方法を進めていくことが重要です。これらについて、経験豊富な方とマンツーマンで学習していくのもオススメです。

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モーメント母関数とは

モーメント母関数

モーメント母関数は、確率分布の性質を表現することができる非常に便利な関数です。確率変数$ X $のモーメント母関数は次のように定義されます。

$$ M_X(t) = E[e^{tX}] $$

n次モーメント

この関数が存在すれば、n次モーメント$ E[Xn] $を次のように求めることができます。

$$ E[X^n] = M_X^{(n)}(0) $$

期待値と分散

特に、期待値と分散は次のように求められます。

$$ 期待値: E[X] = M_X'(0) $$

$$ 分散: \text{Var}(X) = E[X^2] – (E[X])^2 = M_X”(0) – (M_X'(0))^2 $$

なぜモーメント母関数が便利なのか

モーメント母関数の便利な性質として、以下が挙げられます。

分布の特定: モーメント母関数が一致すれば、分布も一致する
独立和の計算: 独立な確率変数の和のモーメント母関数は、各モーメント母関数の積になる
モーメントの導出: 微分により平均や分散などを簡単に計算できる

実際の計算例

例1: ベルヌーイ分布

成功確率$ p $のベルヌーイ分布を考えます。$ X $は1か0の値をとり、$ P(X=1)=p $、$ P(X=0)=1-p $です。

$$ M_X(t) = E[e^{tX}] = e^{t \cdot 1} \cdot p + e^{t \cdot 0} \cdot (1-p) = pe^t + (1-p) $$

期待値

1次モーメント(期待値)を求めてみましょう。

$$ M_X'(t) = pe^t $$

$$ E[X] = M_X'(0) = p $$

確かに、ベルヌーイ分布の期待値$ p $が得られました。次に分散を求めてみましょう。

分散

$$ M_X”(t) = pe^t $$

$$ E[X^2] = M_X”(0) = p $$

$$ \text{Var}(X) = E[X^2] – (E[X])^2 = p – p^2 = p(1-p) $$

ベルヌーイ分布の分散$ p(1-p) $が正しく導出できました。

例2: 正規分布

平均$ \mu $、分散$ \sigma^2 $の正規分布のモーメント母関数は:

$$ M_X(t) = \exp\left(\mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2}\right) $$

期待値

この結果を使って期待値を確認してみます。

$$ M_X'(t) = \left(\mu + \sigma^2 t\right) \exp\left(\mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2}\right) $$

$$ E[X] = M_X'(0) = \mu $$

分散

分散も求めてみます。

$$ M_X”(t) = \left(\sigma^2 + (\mu + \sigma^2 t)^2\right) \exp\left(\mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2}\right) $$

$$ E[X^2] = M_X”(0) = \sigma^2 + \mu^2 $$

$$ \text{Var}(X) = E[X^2] – (E[X])^2 = \sigma^2 + \mu^2 – \mu^2 = \sigma^2 $$

正規分布の分散$ \sigma^2 $が正しく得られました。

まとめ

モーメント母関数は、微分という簡単な操作でモーメントを取り出せる便利なツールです。様々な分布のモーメント母関数を計算することで、その分布の性質をより理解できるようになります。

また、モーメント母関数は統計検定準1級や1級によく出るため、しっかり理解することで資格対策にもなります。しっかりと計算しながらできるように学習しましょう。

モーメント母関数を学ぶのにオススメの方法

書籍：現代数理統計学の基礎

こちらは統計検定1級にも活用される書籍で、幅広く統計学の活用方法を知ることができる書籍となります。将来的に難しい資格にも挑戦したい方にオススメです。

現代数理統計学の基礎（共立講座数学の魅力　11） [ 久保川達也 ]

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スクール：現役データサイエンティストに教えてもらう

モーメント母関数は統計の基礎となる部分となるため、しっかりと理解することが重要です。難しいと感じる場合は、相談しながら進められるスクールもオススメです。

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