確率論や統計学で用いられる「二項分布」とは。例もふまえてわかりやすく紹介

はじめに

確率論や統計学では、日常のさまざまな現象をモデル化し、予測するための多くの手法が存在します。その中でも、「二項分布」は、試行が独立して行われる場合に重要な役割を果たします。例えば、コインを投げたときの表と裏のように、結果が二つしかない状況を考える際に、この分布は非常に有用です。

本記事では、二項分布の基本概念をわかりやすく解説し、具体的な例を通じてその応用方法を紹介します。

統計学の中にも様々な分布があるため、それぞれを個別で理解し、ビジネスへの活用するのが難しい場合は、経験豊富な方とマンツーマンで学習していくのもオススメです。

二項分布は、確率論や統計学で広く用いられる離散型確率分布の一つで、試行を繰り返すときの成功回数をモデル化するのに適しています。

具体的には、特定の条件下で繰り返される試行で、成功と失敗の二つの結果がある状況を考えます。この試行を「ベルヌーイ試行」と呼びます。

二項分布は、以下の条件を満たす試行で適用されます：

これらの条件を満たす試行を$ n $回行ったとき、成功する回数$ X $の分布が二項分布に従います。

$$ P(X = k) = {n \choose k} p^k (1-p)^{n-k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} p^k (1-p)^{n-k} $$

実際の例として、公正なコインを10回投げたときに、表が出る回数を考えてみましょう。

二項分布を用いて計算すると、次のようになります。

$$ P(X = 4) = {10 \choose 4} \times (0.5)^4 \times (0.5)^6 = \frac{10!}{4! \times 6!} \times (0.5)^4 \times (0.5)^6 = 0.205 $$

つまり、10回中ちょうど4回表が出る確率は約20.5%です。

実際に0~10回になる確率は以下のようになります。10回中4~6回が表となる確率は20%~25%程度と高くなっています。

2項分布に従う分布は実際にこのように計算できます。このように10回コインを投げると4~6回が表となることが数学的に算出されます。非常にわかりやすく、理解しやすいかと思います。

二項分布は、様々な分野で応用されています。例えば、

二項分布を使用することで、実験や観察を行う前に、期待される結果の分布を予測することができます。これにより、計画をより効果的に立てることが可能になります。

二項分布は、特に試行が独立で、結果が二つしかない状況において非常に有用です。理論と例を通じて、二項分布の基本的な性質とその実用性を理解することができます。

このような基礎的な確率分布を理解することは、複雑な統計モデルを扱う上で重要なステップとなります。

今回は二項分布について学習しましたが、統計学には様々な分布が存在します。

分布の中にはt分布やポアソン分布がありますが、分析する際には適切な分布を見極め、適用することが求められます。こちらに網羅的に勉強する方法をまとめているので参考にしてください。